首頁 多元選修 (高中) 線性代數

什麼是線性代數？
研究具有線性特質的代數結構
e.g. 方程組的解集合

# 線性特質 linear

# 線性函數

滿足以下條件的函數ff 稱作為線性函數
{f(x+y)=f(x)+f(y)∀x,yf(cx)=cf(x)∀c∈R∀x\left\{ \begin{array}{cl} f(x+y) & = f(x)+f(y) &\forall x,y\\ f(cx) & = cf(x)&\forall c\in \mathbb{R}&\forall x \end{array} \right.

簡單的例子
雙變數的例子

令f(x)=2x−yf(x)=2x-y
{f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2)f(c(x,y))=cf(x,y)\left\{ \begin{array}{cl} f((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) & = f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) \\ f(c(x,y)) & = cf(x,y) \end{array} \right.

面積的例子

固定w→=(c,d)\overrightarrow{w} = (c,d)，令v→=(x,y)\overrightarrow{v} = (x,y)，A(x,y)A(x,y) 表示w→⋅v→=(x,y)\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = (x,y) 所形成的面積
A(x,y)=∣∣xycd∣∣=∣dx−cy∣A(x,y) = | \begin{vmatrix} x & y \\ c & d \end{vmatrix} | = |dx - cy |

# 線性結構

元素上，令 S 為一集合，滿足以下條件的集合 S 具有線性結構
{x+y∈S∀x,y∈Scx∈S∀c∈R∀x∈S\left\{ \begin{array}{cl} x+y \in S & \forall x,y \in S \\ cx \in S & \forall c\in \mathbb{R}&\forall x \in S \end{array} \right.

簡單的例子

# 代數結構

令 S = 集合，* = 運算 (如: +,-,x,÷,∪,∩)
能滿足特定規則的 (S,*) 稱為一個代數結構

# 群 Group

考慮 (G,∗)(G,*):

  1. 封閉性: ∀a,b∈G⟹a∗b∈G\forall a,b \in G \implies a*b \in G
  2. 結合律: ∀a,b,c∈G⟹(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a,b,c \in G \implies (a*b)*c = a*(b*c)
  3. 單位元素: ∀a∈G∃e∈Gs.t.⟹a∗e=e∗a=a\forall a \in G \exists e \in G s.t. \implies a*e = e*a = a
  4. 反元素: ∀a∈G∃a−1∈Gs.t.⟹a∗a−1=a−1∗a=e\forall a \in G \exists a^{-1} \in G s.t. \implies a*a^{-1} = a^{-1}*a = e
  5. 交換律: ∀a,b∈G⟹a∗b=b∗a\forall a,b \in G \implies a*b = b*a
  • 滿足 1~2.=> 稱作一個半群
  • 滿足 1~3.=> 稱作一個麼半群
  • 滿足 1~4.=> 稱作一個群
  • 滿足 1~5.=> 稱作一個交換群

# 向量空間 vector space

在體 F 上的向量空間 V 是一個集合，上有兩種二元運算

  • 向量加法 + : x+y∈V,∀x,y∈Vx+y \in V ,\forall x,y \in V
  • 純量乘法 · : a⋅x∈V,∀a∈F,x∈Va·x \in V ,\forall a \in F,x\in V
公理說明
向量加法的交換律u + v = v + u
向量加法的結合律u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的單位元素存在一個叫做零向量的元素 0 ∈ V，使得對任意 u ∈ V 都滿足 u + 0 = u
向量加法的反元素對任意 v ∈ V 都存在其反元素 - v ∈ V 使得 v + (-v) = 0
純量乘法對體加法的分配律(a + b)v = av + bv
純量乘法對向量加法的分配律a(u + v) = au + av
純量乘法與純量的體乘法相容a(bv) = (ab)v
純量乘法的單位元素體 F 存在乘法單位元素 1 滿足 1v = v

# 線性方程組的解

  1. 線性方程式: a1x1+a2x2+...+anxn=ba_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b

  2. 線性方程組:
    {x−2y+4z=9x+y+z=6x+4y−2z=3=>(1−2411114−2)(xyz)=(963)\left\{ \begin{array}{cl} x-2y+4z & = 9\\ x+y+z & = 6 \\ x+4y-2z & = 3 \end{array} \right. => \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}

  3. 齊次方程組:
    {a1x1+a2x2+...+anxn=0an+1x1+an+2x2+...+a2nxn=0a2n+1x1+a2n+2x2+...+a3nxn=0\left\{ \begin{array}{cl} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n&=0\\ a_{n+1}x_1+a_{n+2}x_2+...+a_{2n}x_n&=0 \\ a_{2n+1}x_1+a_{2n+2}x_2+...+a_{3n}x_n&=0 \end{array} \right.
    => 此方程組必有一解 (0,...,0) 稱為 trivial solution
    => 可能存在 (0,...,0) 以外的解 稱為 non-trivial solution

  4. 通解 = 特定解 + 齊次解

特定解

(1−2411114−2)(xyz)=(963)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} 有一解(501)\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 稱之為特定解

齊次解

考慮 (1−2411114−2)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}存在一解(−211)\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 稱之為齊次解

通解

A[(−211)t+(501)]=A(−211)t+A(501)=(963)A\left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] =A\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}t+ A\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}

  1. 如何找到特定解與齊次解
    1. 加減消去法
    2. 克拉瑪公式
    3. 反矩陣 (若存在)
    4. 高斯消去法
    5. 高斯喬丹消去法
Note
  1. 列數 => 方程式個數 ， 行數 => 變數個數
  2. 基本列運算 => 左乘矩陣
    1. 對調 (100001010)(1−2411114−2)=(1−2414−2111)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
    2. 縮放 (100020000.5)(1−2411114−2)=(1−242220.52−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0.5 & 2 & -1 \end{pmatrix}
    3. 取代 (100−110001)(1−2411114−2)=(1−2403−314−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}
  3. 高斯消去法的目的 => 透過基本列運算增廣矩陣化成 梯形矩陣 R.E.F.
高斯喬丹消去法

將增廣矩陣化成簡化列梯形矩陣 R.R.E.F.

  1. 每列第一個不為 0 的元素為 1
  2. 其上方皆為 0
    (1−249111614−23)=(1−24903−3−30000)=(1−24901−1−10000)=(102701−1−10000)\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 9 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 4 & -2 & 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 9 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & 9 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
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