第 02 篇、向量空間 (上) - 線性代數 - 多元選修 (高中)

# 向量空間 `vector space`

# 定義

在體 $F$ 上的向量空間 $V$ 是一個集合，上有兩種二元運算

向量加法 + : $x+y \in V ,\forall x,y \in V$
純量乘法 · : $a·x \in V ,\forall a \in F,x\in V$

公理	說明
向量加法的交換律	u + v = v + u
向量加法的結合律	u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的單位元素	存在一個叫做零向量的元素 0 ∈ V，使得對任意 u ∈ V 都滿足 u + 0 = u
向量加法的反元素	對任意 v ∈ V 都存在其反元素 - v ∈ V 使得 v + (-v) = 0
純量乘法對體加法的分配律	(a + b)v = av + bv
純量乘法對向量加法的分配律	a(u + v) = au + av
純量乘法與純量的體乘法相容	a(bv) = (ab)v
純量乘法的單位元素	體 F 存在乘法單位元素 1 滿足 1v = v

# 範例 1

$V ={(a_1,a_2)\in \mathbb{R^2}} / F= \mathbb{R}$

定義 $\left\{ \begin{array}{cl} (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2) & = (a_1+b_1,a_2-b_2)\\ c(a_1,a_2) & = (ca_1,ca_2) \end{array} \right.$
=> V is NOT a vector space

原因

$(a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2) = (a_1+b_1,a_2-b_2)$
$(b_1,b_2) \oplus (a_1,a_2) = (b_1+a_1,b_2-a_2)$
其中， $(a_1+b_1,a_2-b_2) \neq (b_1+a_1,b_2-a_2)$
因此， V is NOT a vector space

# 範例 2

$V={(a_1,a_2)\in \mathbb{R^2} } / F= \mathbb{R}$

定義 $\left\{ \begin{array}{cl} (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2) & = (a_1+b_1,0)\\ c(a_1,a_2) & = (ca_1,0) \end{array} \right.$
=> V is NOT a vector space

原因

無單位元素 => 也沒有反元素

# 子空間 `subspace`

# 定義

已知 $(V,+)$ 是一個向量空間，且 $W$ 是 $V$ 的一個非空子集合。
若 $(W,+)$ 也是一個向量空間，則: $W$ 稱作為 $V$ 的一個子空間

$\{ 0 \}$ 一定是 $V$ 的子空間

$\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R^2}$ 的子空間，且 $W = \{ (x,y) | x+y=0 \}$ 是 $\mathbb{R^2}$ 的子空間

另外， $\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{R^2}$ 皆為 $\mathbb{R^3}$ 的子空間

對角矩陣是三角矩陣的子空間
上三角矩陣是 n 階方陣的子空間
但，可逆矩陣不是 n 階方陣的子空間

# 定理

已知 $W$ 是 $V$ 的子集。
則 $W$ 是個子空間，若且唯若它滿足下列三個條件:

$\left\{ \begin{array}{cl} 0 \in W \\ x+y \in W &\forall x,y \in W \\ cx \in W &\forall x \in W ,c \in F \end{array} \right.$

小小的筆記

2~3. 可分併為 $cx+y \in W \forall x,y \in W \forall c \in F$

# 範例 1

已知 $W = \{ (x,y)|x + y = 0$ $\}$ ，試證 $W$ 是 $\mathbb{R^2}$ 的子空間

證明過程

$(0,0) \in W$
$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in W, c\in \mathbb{R}$
$c(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (cx_1+x_2,cy_1+y_2)= c(x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 0 \in W$

# 範例 2

已知 $D_n \subseteq U_n$ , 試證 $D_n$ 是 $U_n$ 的子空間

證明過程

$O \in D_n$
$\forall A,B \in D_n,c \in \mathbb{R}$
設 $A = \begin{pmatrix} a_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_n \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} b_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & b_n \end{pmatrix}$
$cA+B = \begin{pmatrix} ca_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & ca_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ca_1+b_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & ca_n+b_n \end{pmatrix} \in D_n$

# 線性組合 `linear combination`

# 定義

若 $c_1,...c_n \in F,v_1,...v_n \in V$
$\sum c_iv_i$ 稱為 $v_1,...v_n$ 的線性組合

# 範例們

${\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}}$

三點共線
分點公式

若投擲一個不均勻的骰子出現點 $1~n$ 的機率分別為 $P_1 ... P_n$ ，報酬為 $a_1 ... a_n$ 。
投擲一骰子的期望為 $E = \sum a_iP_i$ ，是 $P_1 ... P_n$ 的線性組合

線性方程組的通解是特定解與其次解的線性組合

加減消去法，例如:

$\left\{ \begin{array}{cl} 2x + y = 3 \\ x - 2y = -1 \end{array} \right. => 5x= 5$

$\mathbb{R^2} = (1,0),(0,1)$ 的線性組合
$P(x,y) = x(1,0)+y(0,1)$

# 生成 `span`

# 定義

令 $S=\{v_1,...v_n\} \subseteq V$
$Span(S) =\{ \sum^{n}_{i=1}c_iv_i | c_i \in F,\forall i \}$
$Span(S)$ 為所有 S 中元素的線性組合

Note

$Span(\emptyset) = \{0\}$
若 $Span(S) = V$ => 稱 $S$ 生成 $V$ ，且 $S$ 為 $V$ 的一個生成集

# 定理

向量空間 $V$ 的非空集合 $S$ 生成的子空間是 $S$ 中向量的所有有限線性組合；
在 $V$ 內，任何包含 $S$ 的子空間必定包含 $Span(S)$

# 範例們

$\{(1,0),(0,1)\}$ Span $R^2$

$\{(1,2),(2,1),(3,4)\}$ Span $R^2$

$\{(1,3),(2,6)\}$ can't Span $R^2$

$\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ Span $R^3$

$\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\}$ Span $D_2(R^2)$

數學多元選修線性代數

# 向量空間 vector space

# 定義

# 範例 1

# 範例 2

# 子空間 subspace

# 定義

# 定理

# 範例 1

# 範例 2

# 線性組合 linear combination

# 定義

# 範例們

# 生成 span

# 定義

# 定理

# 範例們

f815: TOI_y21m4_a01遊戲升等

第01篇、stack的運用

# 向量空間 `vector space`

# 子空間 `subspace`

# 線性組合 `linear combination`

# 生成 `span`