第 03 篇、向量空間 (下)

# 線性獨立 / 相依 linear dependent/independent

# 定義

令 $S = {v_1,...v_n} \subset V$，若存在不全為 0 的$c_1,c_2,...,c_n \in F$ 使得 $\sum_{i=0}^{n}c_iv_i = 0$

=> $S$ 稱為$V$ 內的線性相依子集 L.D.

=> 反之，$S$ 則稱為$V$ 內的線性獨立子集 L.I.

# 範例

# 定理

令 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$

1. 若$S_1$ 為$V$ 的線性相依子集，則$S_2$ 也是$V$ 的線性相依子集
2. 若$S_2$ 為$V$ 的線性獨立子集，則$S_1$ 也是$V$ 的線性獨立子集

# 基底 basis

# 定義

設$\mathfrak {B}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ 是在係數域$\mathbb{F}$ 上的向量空間$\mathrm {V}$ 的有限子集。如果$\mathfrak {B}$ 滿足下列兩者條件：

1. 最大線性獨立子集
   對任意$(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in {\mathbb {F}}^{n}$，如果$\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=0$，則必然$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{n}=0$
2. 最小生成集
   對任意$v\in {\mathrm {V}}$，可以選擇$(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in {\mathbb {F}}^{n}$，使得$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$。

# 範例們

1. 空集合是$\{0\}$ 的基底

2. $\{(1,2),(2,1)\}$ 是 $\mathbb{R^2}$ 的基底
   $\{(1,0),(0,1)\}$ 是 $\mathbb{R^2}$ 的標準基底

3. $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ 是 $\mathbb{R^3}$ 的標準基底
   同理，$\{e_1,e_2,...,e_n\}$ 是 $\mathbb{R^n}$ 的標準基底

4. $\{1,x,x^2\}$ 是 $P_2(\mathbb{R})$ 的標準基底
   $\{1,x,...,x^n\}$ 是 $P_n(\mathbb{R})$ 的標準基底
   $\{1,x,...,x^n,...\}$ 是 $P(\mathbb{R})$ 的標準基底

# 定理 1

若$\mathfrak {B}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ 是$V$ 的基底，則$\forall v \in V$ 存在唯一$c_1,...,c_n \in F$ 使得$v=\sum_{i=1}^{n}c_iv_i$

# 定理 2

若$S$ 生成$V$，則存在$S' \subset S$ 使得$S'$ 是$V$ 的基底

若$S$ 是線性獨立子集 L.I. ，則存在$S \subset S'$ 使得$S'$ 是$V$ 的基底

# 定理 3

若$S=\{v_1,...,v_n\},V=\{w_1,...w_m\}$ 都是$V$ 的基底，則$m=n$ (V 的維度)。

# 維度 dimension

# 定義

若$\mathfrak {B}=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}$ 是$V$ 的一組基底。
定義$V$ 的維度是$n$，記作$dim_F(V) = dim(V) = n$

若$n < \infty$，則$V$ 稱作為有限維的向量空間
若$n = \infty$，則$V$ 稱作為無限維的向量空間

# 定理

若$W$ 為$V$ 的子空間，且$V$ 是有限維度的向量空間，則$W$ 的維度不大於$V$ 的維度。
若$dimW = dimV$，則$W=V$

# 範例們